python之不定积分求解


  • 概述

为了解决数学中一些不定积分的求解方便自己做作业,让我们一起学习如何使用python求不定积分吧!

《matlab版点这里》

1.安装

pip3 install sympy

建议使用anaconda,里面有大量的科学包,方便使用!

2.使用

我会根据我的理解和官方教程来进行使用,英语好的可以直接去官网看,防止我可能出现的理解误差。

请认真看注释!

from sympy import *  //引入包
x = symbols('x')      //声明变量'x'
a = Integral(cos(x)*exp(x),x)    //
print(Eq(a,a.doit()))      

Symbol()函数定义单个数学符号;symbols()函数定义多个数学符号

3.数学符号

学了那么久python,忽然发现自己连数学符号都不会打,趁这次机会学习一下好了。

sqrt:根号

pi:圆周率

exp(x):$e^x$

详见《python之math库的使用》

复数的表示

aComplex = 1 + 2j       //申明一个复数
aComplex
(1+2j)
aComplex.real           //复数实部
1.0
aComplex.imag           //复数虚部
2.0
aComplex.conjugate()        //共轭复数
(1-2j)
// 取整除 - 向下取接近除数的整数

比较运算符

== 等于 - 比较对象是否相等 (a == b) 返回 False。
!= 不等于 - 比较两个对象是否不相等 (a != b) 返回 True。
> 大于 - 返回x是否大于y (a > b) 返回 False。
< 小于 - 返回x是否小于y。所有比较运算符返回1表示真,返回0表示假。这分别与特殊的变量True和False等价。注意,这些变量名的大写。 (a < b) 返回 True。
>= 大于等于 - 返回x是否大于等于y。 (a >= b) 返回 False。
<= 小于等于 - 返回x是否小于等于y。 (a <= b) 返回 True。

赋值运算符

以下假设变量a为10,变量b为20:

运算符 描述 实例
= 简单的赋值运算符 c = a + b 将 a + b 的运算结果赋值为 c
+= 加法赋值运算符 c += a 等效于 c = c + a
-= 减法赋值运算符 c -= a 等效于 c = c - a
*= 乘法赋值运算符 c *= a 等效于 c = c * a
/= 除法赋值运算符 c /= a 等效于 c = c / a
%= 取模赋值运算符 c %= a 等效于 c = c % a
**= 幂赋值运算符 c **= a 等效于 c = c ** a
//= 取整除赋值运算符 c //= a 等效于 c = c // a
:= 海象运算符,可在表达式内部为变量赋值。Python3.8 版本新增运算符 在这个示例中,赋值表达式可以避免调用 len() 两次:if (n := len(a)) > 10: print(f"List is too long ({n} elements, expected <= 10)")

示例:

4.扩展运用

折叠表达式

factor()函数可以折叠表达式(提取公因子),而expand()函数可以展开表达式(类似于一般式)

举个例子:$x3+y2x2+zx$,折叠后:$x(x2+y^2x+z)$.

import math
import sympy
x,y,z = symbols('x y z')
expr = x**3+(x**2)*(y**2)+z*x
f_expr = factor(expr)
e_expr = expand(f_expr)
print(f_expr)
print(e_expr)

输出结果:

x*(x**2 + x*y**2 + z)
x**3 + x**2*y**2 + x*z
表达式化简

simplify()函数可以对表达式进行化简,相当于合并同类项

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=(2*x)**3*(-5*x*y**2)
s_expr=simplify(expr)
print(s_expr)
输出: -40*x**4*y**2

求解方程组

一元方程组,例:$6x+6(x-2000)=150000$, (需要移项)

from sympy import *
x = Symbol('x')
print(solve(6*x + 6*(x-2000)-150000,x))   //默认使用一边为0来求解

二元一次方程组,例:

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
print(solve([x + y-10,2*x+y-16],[x,y]))
输出: {x: 6, y: 4}

n元同理,不再示例。

一元二次方程组
from sympy import *
x,y = symbols('x y')
a,b,c = symbols('a b c')
expr = a*x**2 + b*x + c
s_expr = solve(expr, x)  //告知要解的参数
print(s_expr)
输出 :[(-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)]

微积分Calculus

一个非常重点的内容,请认真看并记住!

求极限

Sympy是使用limit(表达式,变量,极限值)函数来求极限的

例子:$\displaystyle \lim_{y \to0}\frac{sin(x)}{x}$

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr = sin(x)/x
l_expr = limit(expr, x, 0)
print(l_expr)

结果为1

求导

可以使用diff(表达式,变量,求导的次数)函数对表达式求导(matlab也和这个差不多)

例子:$sin(x)e^x$

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr = sin(x)*exp(x)
diff_expr = diff(expr, x)
diff_expr2 = diff(expr,x,2)  //n阶导同理
print(diff_expr)
print(diff_expr2)

求不定积分

Sympy是使用integrate(表达式,变量)来求不定积分的

例子:$exsin(x)+excos(x)$

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)
i_expr=integrate(expr,x)
print(i_expr)

输出原函数:exp(x)*sin(x)

求定积分

Sympy同样是使用integrate()函数来做定积分的求解,

例子:$sin(x^2)$

from sympy import *
x,y = symbols('x y')
expr=sin(x**2)
i_expr=integrate(expr, (x, -oo, oo))
print(i_expr)

输出:sqrt(2)*sqrt(pi)/2 即:$\frac{\sqrt 2 \sqrt \pi}{2}$ (哭了,手算算不出来,无法验证)

注意:

5.其他函数及参数的用法

这个涉及的知识就会比较深了,一般只有较高级的运用才会使用的到,一般仿照上面的代码使用就可以解决绝大多数问题,纯个人想加深理解,选读 (等我有能力的时候再看下源码吧!)

传参:
from sympy import *
x = symbols('x')
fx = 5*x+4
# 使用evalf函数传值
y1 = fx.evalf(subs={x:6})
print(y1)

微分:

矩阵:

构建矩阵:

from sympy import *
# 一纬矩阵
m1 = Matrix([1, 2, 3])
#二维矩阵
m2 = Matrix([[1, -1], [3, 4], [0, 2]])
print(latex(m1)
print(latex(m2))

输出:

\left[\begin{matrix}1\\2\\3\end{matrix}\right]
\left[\begin{matrix}1 & -1\\3 & 4\\0 & 2\end{matrix}\right]   

完了,有些看不懂,赶紧去查查! 详情请看《LaTeX之数学公式及符号的语法及表达》

扩展知识:

Eq():创建方程 (例:Eq(x**7+a^2,0) 等式的左边和右边

solve:求解方程

部分单词扩展:

integral :积分

indefinite:不定积分 definite:定积分

differential:微分

eigenvalues:特征值

参考链接:

https://www.jianshu.com/p/e94d02707f4a

https://docs.sympy.org/latest/tutorial/intro.html


文章作者: 古客
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